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50 Jahre Deutsche Statistische Gesellschaft Tagungen 1961

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En déduire qu’il existe une matrice unitaire U telle que Ut ΓU est diagonale. 5. Donner la loi de Ut Z. En déduire la loi de k j=1 Z(j)2 . 6. Donner la limite de (Tn , n > 1). En déduire un test pour savoir si un dé est non-biaisé. 2 Vecteurs gaussiens - Mouvement Brownien Exemples numériques 1. A. On souhaite savoir si les naissances sont équiréparties sur les jours de la semaine. Les nombres moyens de naissances par jours de semaine pour 1997 sont les suivants (source NVSR 1999) : NLundi = 10861, NMardi = 12104, NMercredi = 11723, NJeudi = 11631, NVendredi = 11640, NSamedi = 8670 et NDimanche = 7778.

Si Z est une variable aléatoire B-mesurable et bornée : E(ZX|B) = ZE(X|B). 5. E (E (X|B)) = E(X). Soit C une sous tribu de B alors : E (E(X|B)|C) = E(X|C). 6. Si X est indépendante de la tribu B (c’est à dire indépendante de toutes la variables aléatoires B-mesurables) : E (X|B) = E(X). 7. Contraction pour la norme L2 : E |E(X|B)|2 ≤ E(|X|2 ). 5 On déduit de la propriété 2 : |E(X|B)| ≤ E (|X||B) , et (contraction pour la norme L1 ) : E (|E(X|B)|) ≤ E(|X|). 46 Cours de Processus Aléatoires Le résultat suivant est très utilisé dans les calculs.

1). nσ2θ + σ2e 6. Montrer que E[Z] = σ2e mθ nσ2θ + σ2e et VarZ = σ2θ σ2e . nσ2θ + σ2e ^ n = E [Θ | X] en fonction de la moyenne empirique X¯ n = 7. Exprimer Θ mesures. 3 Espérance conditionnelle 8. Montrer que l’erreur quadratique moyenne est E ^n Θ−Θ 2 σ2θ σ2e = . nσ2θ + σ2e Quel est l’intérêt de faire plusieurs mesures ? ^ n convergent presque sûrement quand n → ∞. Quelle est la limite. 9. Montrer que Xn et Θ On parle d’estimateurs convergents. √ √ ^ n −Θ). Comparer les erreurs quadratiques 10.

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